Jaume Bassó va comença a jugar a bàsquet a l'escola Júlia Minguell de Badalona, sent captat per la Penya en edat juvenil l'any 1944. Va jugar al Joventut durant 13 temporades.

A la seva segona temporada al primer equip, la 1947-48, es va proclamar campió del Campionat d'Espanya celebrat a Burgos, sent la primera vegada que la Penya aconseguia aquest títol.

Bassó guanyaria tres Campionats d'Espanya més: l'any 1953 a Valladolid, el 1955 a Barcelona i el 1958 a Saragossa. En acabar aquesta temporada en la que s'aconseguia novament el campionat d'Espanya Bassó anuncia la seva retirada. No obstant, les baixes durant aquell mateix estiu d'Escutia, Carbonell i Parra, així com la crida a files per realitzar el servei militar d'Utrillas i Ballester, fan que Jaume s'ho replantegi i decideixi continuar jugant de verd-i-negre una temporada més. En acabar, doncs, la temporada 1958-59 es retira després de tota una vida a la Penya.

Durant sis anys va ser directiu del club, fins l'any 1981, any en que es va guanyar la Korac.

Té l'honor de ser el primer jugador internacional badaloní. Va ser internacional amb la selecció espanyola 13 vegades. Va participar al I Campionat Mundial disputat l'any 1950 a Buenos Aires, encara que amb escassa fortuna, ja que l'equip espanyol va quedar penúltim (novè de deu). També va formar part de la selecció als Jocs del Mediterrani de l'any 1955, en la que va guanyar la medalla d'or.

El 1947 també va jugar amb la selecció catalana, enviada al Torneig de Niça per la Federació Espanyola per evitar el bloqueig de les autoritats, tal i com havia succeït als Jocs Olímpics de Londres. En aquella selecció també hi van ser Maneja, Oller, Gubern i Baró, entre altres, i van acabar en segona posició.

Tornaria a ser convocat amb la catalana el 1949, i va ser titular també a les seleccions catalanes que es van formar entre el Mundial d'Argentina (1950) i els Jocs del Mediterrani de Barcelona (1955).